高数笔记

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求导公式

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极限、连续

函数定义域的求法

  1. 分式的分母不能为0
  2. 偶次方根的底数大于等于0
  3. 对数的真数大于0
  4. 反正弦函数和反余弦函数的特殊规定

判断两个函数是否相等的方法

  1. 定义域相同
  2. 对应法则相同

求极限的方法

  1. 直接代入
  2. 法则
  3. 无穷小和无穷大的性质
  4. 三种特例
  5. 两个重要极限
  6. 等价无穷小的替换
  7. 泰勒展开

法则

前提条件: 两个函数的极限必须存在

  • 两个函数和差的极限 = 两个函数极限的和差
  • 两个函数乘积的极限 = 两个函数极限的乘积
  • 两个函数商的极限 = 两个函数极限的商

无穷小和无穷大的性质

  • 无穷小的定义: 在自变量的某个变化过程中, 极限为0的函数称为无穷小量, 简称无穷小
  • 无穷大的定义: 在自变量的某个变化过程中, 极限为无穷大的函数称为无穷大量, 简称无穷大
  1. 无穷小量与无穷大量的关系: 无穷小和无穷大互为倒数关系
  2. 无穷小量的性质: 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量
    • 常见的有界函数
      • $sin$
      • $cos$
      • $arctan$
      • $arccot$

三种特例

  1. $x \to \infty$
  2. 有理分式

两类重要极限

必须满足两个条件
(1) $1^{\infty}$
(2) $ \cfrac{1}{A}B=1 $, 即 $\cfrac{1}{A}$ 和 $B$ 互为倒数关系

等价无穷小的替换定理

设当 $x \to x_0$ 时
$\alpha_1(x)$ ~ $\alpha_2(x)$ 互为等价无穷小
$\beta_1(x)$ ~ $\beta_2(x)$ 互为等价无穷小

使用等价无穷小替换时, 必须满足两个条件:

  1. 整体乘积
  2. 待替换函数整体极限为 $0$

使用非零因子替换时, 必须满足两个条件:

  1. 整体乘积
  2. 待替换函数整体极限存在且不为 $0$

互为等价无穷小关系表

~ 符号表示等价无穷小:

  1. $sinx$ ~ $x$
  2. $tanx$ ~ $x$
  3. $arcsinx$ ~ $x$
  4. $arctanx$ ~ $x$
  5. $1-cosx$ ~ $\frac12x^2$
  6. $\ln (1+x)$ ~ $x$
  7. $e^x-1$ ~ $x$
  8. $a^x-1$ ~ $xlna$
  9. $x-sinx$ ~ $\frac{1}{6}x^3$
  10. $(1+x)^a-1$ ~ $ax$

泰勒展开

几个常用的含有佩亚诺余项的麦克劳林泰勒公式

高价无穷小的运算

$o(*)$ 均表示 $*$ 的高价无穷小

  1. $\lim\limits_{x \to 0}\cfrac{o(x)}{x}=0$
  2. $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^p)$, 其中 $p=\min\{m, n\}$, 这就是所谓的“低阶吸收高阶”
  3. $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$
  4. $x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$
  5. $[o(x^m)]^n=o(x^{mn})$
  6. $\cfrac{o(x^m)}{x^n}=o(x^{m-n})$, 要求 $m\geq n$

泰勒公式展开阶数的确定

泰勒公式计算极限, 应该“展开到分子分母同阶”
“同阶”指的是, 展开成泰勒公式并化简后, 分子分母最低次幂的幂数相同
也可理解成有相同的 $o(x^p)$

具体来说, 有如下几种情况

说明: 在 $f(x)$ 或 $g(x)$ 中, 如果有加减法 $f_1(x)-f_2(x)$, 那么应该展开到系数不为零的最低次幂, 即 $f_1(x)-f_2(x)=kx^p+o(x^p)$, 其中 $k\neq 0$

连续

函数在一点连续的定义

  1. 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 有定义
  2. $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)$ 存在
  3. $\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$

初等函数在其定义域范围之内都连续

间断

如果函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 不连续, 则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点

判断间断点的方法

  1. 没有定义的点
  2. 极限不存在的点
  3. 极限值不等于函数值的点

间断点的类型

第一间断点: $x_0$ 是 $f(x)$ 的间断点, 且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左右极限都存在
$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)\neq f(x_0)$ (或该点未定义)则称为可去间断点
$\lim\limits_{x \to x_0^+}\neq \lim\limits_{x \to x_0^-}$ 则称为跳跃间断点

第二间断点: 第一间断点以外的间断点

渐近线

渐近线分为三类

  1. 水平渐近线
  2. 垂直渐近线(铅直渐近线)
  3. 斜渐近线

水平渐近线

其形式为 $y=C$

$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = C$ 或 $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = C$
其中 $C$ 为任意常数

当 $f(x)$ 的两个极限值相等且为常数 $C$ 时, 水平渐近线有一条, 反之, 两个极限值都存在, 但极限值 $C_1 \neq C_2$, 那么水平渐近线有两条

垂直渐近线(铅直渐近线)

其形式为 $x=C$

前提: $x=C$ 是函数的间断点

$\lim\limits_{x \to C^+}f(x)=\infty$ 或 $\lim\limits_{x \to C^-}f(x)=\infty$
其中 $C$ 为 $f(x)$ 间断点

如果有n个点未定义, 则需求n个极限才能得到垂直渐近线的条数, 因此可知垂直渐近线的条数可以有任意条

斜渐近线

其形式为 $y=kx+b(k \neq 0)$

$k=\lim\limits_{x \to +\infty}\cfrac{f(x)}{x}$

$b=\lim\limits_{x \to +\infty}[f(x)-kx]$

$k=\lim\limits_{x \to -\infty}\cfrac{f(x)}{x}$

$b=\lim\limits_{x \to -\infty}[f(x)-kx]$

斜渐近线最多为两条, 即两组极限值不相等的情况, 最少为0条, 即极限不存在(包括0), 一旦 $k=0$ , 那么其形式就变为 $y=C$, 即水平渐近线

零点定理

介值定理主要用于证明方程根的存在性
设有方程 $f(x)=0$, 如果 $f(a)f(b)<0$
则该方程在开区间 $(a, b)$ 内至少有一个实根

导数

导数的定义

例题:
设 $\lim\limits_{x \to 0}\cfrac{f(2x) - f(0)}{x}=\cfrac12$, 求 $f’(0)$

解:
$f’(0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0}\cfrac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}$

$=\lim\limits_{x \to 0}\cfrac{f(0 + 2x) - f(0)}{2x}$

$=\cfrac12\lim\limits_{x \to 0}\cfrac{f(2x)-f(0)}{x}=\cfrac14$

导数的几何意义(重要)

如果函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f’(x_0)$ 存在, 则在几何上, $f’(x_0)$ 表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线的斜率

求导方法

  1. 基本公式
  2. 基本法则
  3. 复合函数求导
  4. 隐函数求导
  5. 对数求导法
  6. 参数方程求导

一元函数微分学

微分的定义

已知函数 $y=f(x)$
$dy=y’dx\approx \Delta y$

微分的计算

例:
求 $y=xe^x$ 的微分
$dy=(xe^x)’dx=(e^x+xe^x)dx$

洛必达法则

  1. 条件: $\cfrac00$ 型或 $\cfrac\infty\infty$ 型
  2. 内容: $\lim\cfrac{f(x)}{F(x)}=\lim\cfrac{f’(x)}{F’(x)}=…$

导数的应用

函数的单调性

  1. 若在 $(a, b)$ 内, $f’(x)>0$, 则函数 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调递增
  2. 若在 $(a, b)$ 内, $f’(x)<0$, 则函数 $y=f(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调递减

曲线的凹凸性

  1. 若在 $(a, b)$ 内, $f’’(x) > 0$
    则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的图形是
  2. 若在 $(a, b)$ 内, $f’’(x) < 0$
    则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的图形是

曲线上凹凸区间的分界点称为拐点

判定凹凸性与求拐点的一般步骤

  1. 求函数的定义域和二阶导数 $f’’(x)$
  2. 令 $f’’(x)=0$, 解出全部实根和二阶导数不存在的点
  3. 对步骤2的每一个点, 检查其邻近左、右两侧 $f’’(x)$ 的符号, 异号为拐点, 拐点坐标为 $(x, f(x))$

函数的极值

求函数的极值点和极值的步骤

  1. 求 $f(x)$ 的定义域, 并求 $f’(x)$
  2. 解 $f’(x)=0$ 求出驻点与不可导点
  3. 讨论 $f’(x)$ 在驻点和不可导点左右两侧的符号(异号为极值点), 确定函数的极值点
  4. 求出各极值点的函数值

极大点与极小点的判断

单调性 $f’(x)$ 左正右负为极大点
单调性 $f’(x)$ 左负右正为极小点

罗尔定理

设 $f(x)$ 满足:

  1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
  2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导
  3. $f(a)=f(b)$

则至少存在一点 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f’(\xi)=0$
证 $f’(\xi)=0$ 的关键在于找到区间内两点相等, 即满足第三个条件

设函数 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续, 在 $(0, 1)$ 上可导, $f(1)=0, f(0)=1$, 且 $lim_{x \to \frac{1}{2}}\cfrac{f(x)+1}{x-\frac{1}{2}}=2$
证明: 在 $(0, 1)$ 内存在 $\xi$, 使得 $f’(\xi)=0$

证:
$\because lim_{x \to \frac{1}{2}}\cfrac{f(x)+1}{x-\frac{1}{2}}=2$, 其中 $x-\cfrac{1}{2} \to 0$, 而该极限值存在, 则说明分子分母是同阶无穷小, 则有 $f(x)+1 \to 0$
$\therefore \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}}f(x)+1=0$
$\therefore \lim\limits_{x \to \frac{1}{2}}f(x)=-1$
$\therefore f(\frac{1}{2})=-1$
$\therefore$ 由零点定理, $f(0)f(\frac{1}{2})<0$, 可得 $c\in(0, \cfrac{1}{2})$ 使 $f(c)=0$
$\therefore f(c)=f(1)=0$
$\therefore$ 由罗尔定理证明, 存在 [$\xi\in(c, 1)]\in(0,1)$ 使得 $f’(\xi)=0$
证毕

拉格朗日中值定理

设 $f(x)$ 满足:

  1. 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
  2. 在开区间 $(a, b)$ 内可导

则至少存在一点 $\xi\in(a, b)$, 使得 $f’(\xi)=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

一元函数积分学

不定积分的概念和性质

  1. 原函数: 若 $F’(x)=f(x)$
    则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数
    若 $f(x)$ 存在一个原函数, 则它有无穷多个原函数, 其中任意两个原函数仅相差一个常数

如: $sin(x)’=cosx$
所以 $sinx$ 是 $cosx$ 的一个原函数
$(sinx+3)’=cosx$
所以 $sinx+3$ 是 $cosx$ 的一个原函数

  1. 不定积分: 求函数 $f(x)$ 的全部原函数
    记作 $\int f(x)dx$ 因此, 若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int f(x)dx=F(x)+c$
    其中
    $\int$ 称为积分号
    $f(x)$ 称为被积函数
    $d$ 称为微分
    $x$ 称为积分变量
    $F(x)$ 称为原函数
    $c$ 称为任意常数

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不定积分的计算

运算法则

  1. $\int [f(x)\pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

  2. $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx, (k为常数)$

第一换元积分法(凑微分法)

$\int g[\varphi(x)]\varphi’(x)dx$
$=\int g[\varphi(x)]d\varphi(x)$
$=\int g(u)du$
$=F(u)+C$
$=F[\varphi(x)]+C$

第二换元积分法

解决对象: 被积函数含有根号
解决思路: 去掉根号
解决方法: 简单根式代换

三角代换

当被积函数含有 $\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2}(a > 0)$ 的无理式时, 通常使用三角代换

$\sqrt{a^2-x^2}$ 令 $x=asint$ 或 $x=acost$
$\sqrt{a^2+x^2}$ 令 $x=atant$
$\sqrt{x^2-a^2}$ 令 $x=asect$

如果最后得到含有 $sint、cost、tant、t$ 等原函数时, 需将 $t$ 还原为 $x$

三角函数和反三角函数含有 $t$ 的还原方法

设令 $x=asint$, 那么 $sint=\cfrac{x}{a}$, 可得 $sint=\cfrac{对边}{斜边}$

由此可根据直角三角形 $a^2+b^2=c^2(对边^2+邻边^2=斜边^2)$ 得到邻边

即如下图
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设令 $x=asect$, 那么同三角函数一样, 只需将反三角函数转换三角函数即可按照三角函数来计算

$sect=\cfrac{x}{a} \Rightarrow sect=\cfrac{1}{cost} \Rightarrow \cfrac{1}{cost}=\cfrac{x}{a} \Rightarrow cost=\cfrac{a}{x}$

其他反三角函数同理

$secx = \cfrac{1}{cosx}$

$cscx = \cfrac{1}{sinx}$

$cotx = \cfrac{cosx}{sinx}=\cfrac{1}{tanx}$

仅含有 $t$ 的还原方法

设令 $x=asint$, 即根据反三角函数可知 $t=arcsin\frac{x}{a}$

$x=asint \Rightarrow t=arcsin\frac{x}{a}$

$x=acost \Rightarrow t=arccos\frac{x}{a}$

$x=atant \Rightarrow t=arctan\frac{x}{a}$

$x=asect \Rightarrow sect=\cfrac{x}{a} \Rightarrow \cfrac{1}{cost} = \cfrac{x}{a} \Rightarrow cost=\cfrac{a}{x} \Rightarrow t=arccos\frac{a}{x}$

$x=acsct \Rightarrow t=arcsin\frac{a}{x}$

$x=acott \Rightarrow t=arctan\frac{a}{x}$

分部积分法

公式: $\int udv = uv - \int vdu$

注意:

  1. $v$ 要用凑微分容易求出
  2. $\int vdu$ 比 $\int udv$ 容易求

解决对象(常见形式)

  • $x^nsin(mx)$
  • $x^ncos(mx)$
  • $x^ntan(mx)$
  • $e^{nx}sin(mx)$
  • $e^{nx}cos(mx)$
  • $e^{nx}tan(mx)$
  • $x^ne^{mx}$
  • $x^n(\ln x)$
  • $x^narcsin(mx)$
  • $x^narccos(mx)$
  • $x^narctan(mx)$

定积分

定积分的概念

其中 $f(x)$ 叫做被积函数
$f(x)dx$ 叫做被积函数表达式
$x$ 叫做积分变量
$[a,b]$ 叫做积分区间

定积分的几何意(重要)

定积分的几何意义: 求曲边梯形的面积

定积分的性质

两点补充规定:

  1. 当 $a = b$ 时, $\int_a^bf(x)dx=0$
  2. 当 $a \neq b$ 时, $\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$

性质1: 若干个函数的和差的定积分 = 若干个定积分的和差

性质2: 常数因子 $k$ 可以移到定积分的外面, 作为一个系数

性质3: 将 $[a,b]$ 区间分成若干段区间 = 这若干段区间的定积分之和

积分上限的函数及其导数

积分上限函数也叫变上限积分

$\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt, (a为常量, x为变量)$

若函数 $f(t)$ 在区间 $[a, x]$ 上连续, 则函数

$\Phi’(x)=(\int_a^xf(t)dt)’=f(x)$

例题: 求 $\cfrac{d}{dx}\int_x^5(t^2+e^t)dt$
$\cfrac{d}{dx}$ 表示求导

解:
$\cfrac{d}{dx}\int_x^5(t^2+e^t)dt$
$=\cfrac{d}{dx}\Big(-\int_5^x(t^2+e^t)dt\Big)$
$=-(x^2+e^x)$

注意: 如果积分上限不是一个单一的 $x$, 那么求导为复合函数的求导

例如:

$\cfrac{d}{dx}[\int_0^{x^2}sintdt]$
$=(x^2)’sinx^2=2xsinx^2$

如果积分上下线同时存在 $x$, 那么导数为上限的导数减下限的导数

例如:

$\cfrac{d}{dx}[\int_x^{x^2}sintdt]$
$=\cfrac{d}{dx}[\int_0^{x^2}sintdt + \int_x^0sintdt]$
$=\cfrac{d}{dx}[\int_0^{x^2}sintdt - \int_0^xsintdt]$
$=(x^2)’sinx^2-(x)’sinx=2xsinx^2-sinx$

牛顿-莱布尼兹公式

若函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是一个原函数, 则 $\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$

例题: 求定积分 $\int_0^1x^2dx$

解:
$\int_0^1x^2dx=\cfrac{x^3}{3}\Big|_0^1=\cfrac13-\cfrac03=\cfrac13$

特殊技巧

  1. 当积分区间为对称区间, 且 $f(x)$ 为偶函数时, 可以提取系数 2, 并且将区间减少一半

    $\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx$
    条件1: 积分区间为对称区间
    条件2: $f(x)=f(-x)$

  2. 当积分区间为对称区间, 且 $f(x)$ 为奇函数时, 它一定为 0

    $\int_{-a}^af(x)dx=0$
    条件1: 积分区间为对称区间
    条件2: $-f(x)=f(-x)$

广义积分

$\int_a^{+\infty}f(x)dx=F(x)|_a^{+\infty}=F(+\infty) - F(a)$

$\int_{-\infty}^bf(x)dx=F(x)|_{-\infty}^b=F(b) - F(-\infty)$

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=F(x)|_{-\infty}^{+\infty}=F(+\infty) - F(-\infty)$

定积分的应用

求平面图形的面积

  1. 利用定积分的几何意义

  2. 利用微元法
    (1) 根据具体问题, 选取一个积分变量, 如 $x$ 为积分变量, 在它的变化区间 $[a, b]$ 取一个区间微元 $[x, x + dx]$, 求出面积的近似值 $dU=f(x)dx$
    (2) 根据 $dU=f(x)dx$ 写出

多元函数微分学

用不等式组表示平面区域

首先我们来讨论 $D$ 是下面一般情形
然后讨论比较特殊的区域时的情况

  1. 设其中 $g(x), h(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的连续函数
    $D=\{(x, y)|a\leq x\leq b, g(x) \leq y \leq h(x)\}$
    这样的区域 $D$, 我们称之为 $X$ 型区域

  2. 当 $u(y), v(y)$ 是区间 $[c, d]$ 上的连续函数
    $D=\{(x, y)|c\leq x\leq d, u(y) \leq x \leq v(y)\}$
    称为 $Y$ 型区域

偏导数与全微分

偏导数的求法

从偏导数的定义可以看出, 求多元函数对一个自变量的偏导数时, 实际上只需将其它自变量看成常数, 按照一元函数的求导法则进行即可

多元函数的偏导数

令多元函数表达式为 $F(x, y, z)$

如 $z = 4xy^3+5x^2y^6$
令 $F(x, y, z)=4xy^3+5x^2y^6-z$

全微分

二元函数的极值

求 $z=f(x, y)$ 的极值的步骤

  1. 解方程组
    $f_x(x,y)=0, f_y(x, y)=0$
    求出 $f(x, y)$ 的所有驻点

  2. 求出函数 $f(x, y)$ 的二阶偏导数
    依次确定各驻点处 $A$ (对 $x$ 偏导), $B$ (对 $xy$ 混合偏导), $C$ (对 $y$ 偏导)的值
    并根据 $AC-B^2$ 的符号判定驻点是否为极值点
    最后求出函数 $f(x, y)$ 在极值点处的极值
    $f_{xx}(x_0, y_0)=A$
    $f_{xy}(x_0, y_0)=B$
    $f_{yy}(x_0, y_0)=C$

  3. 当 $AC-B^2>0$ 时, $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处有极值
    $A>0$ 时有极小值 $f(x_0, y_0)$
    $A<0$ 时有极大值 $f(x_0, y_0)$

  4. 当 $AC-B^2<0$ 时, $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处没有极值

  5. 当 $AC-B^2=0$ 时, 无法判断

特殊技巧(有待证明)
$A>0, C>0$ 有极小值
$A>0, C=B=0$ 有极小值
$C>0, A=B=0$ 有极小值
$A<0, C<0$ 有极大值
$A<0, C=B=0$ 有极大值
$C<0, A=B=0$ 有极大值

多元函数积分学

二重积分的概念与性质

二重积分的概念

其中
$f(x, y)$ 称为被积函数
$d\sigma$ 称为面积微元
$x$和$y$ 称为积分变量
$D$ 称为区域

二重积分的性质

性质1

性质2

直角坐标系下二重积分的计算

假定积分区域 $D$ 为如下 $X$ 型区域

类似的, 如果积分区域 $D$ 为 $Y$ 型区域

我们也可以将 $D$ 看成是两个X型区域 $D_1, D_2$ 的并集

所以积分可以写为两个二次积分的和, 即

极坐标系下二重积分的计算

适用对象:

  1. 被积函数一般含有 $x^2 + y^2$

  2. 积分区域为圆域、扇形域、环形域

微分方程

微分方程: 含有未知函数的导数(或微分)的等式
常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程
方程的“阶”: 微分方程中未知函数导数的最高阶数
方程的解: 带入微分方程使得方程两端恒等的函数

通解与特解

通解: 方程解中含有与方程阶数相同个数的任意常数 $C$
特解: 方程通解中任意常数 $C$ 被确定之后的解
线性常微分方程: 未知函数及其各阶导数均为一次的常微分方程
初始条件: 用来确定方程通解中任意常数 $C$ 的条件, 即求得特解的条件
线性微分方程: 关于未知函数及其各阶导数都是一次方

  • 例如: $y’+x^2y=x^3$

非线性微分方程: 关于未知函数或其各阶导数存在二次方或二次方以上

  • 例如: $y’’+y^2y’+x=0$

本文不讨论非线性微分方程, 后面关于微分方程的内容皆理解为线性微分方程

一阶微分方程

基本概念
未知函数导数的最高阶数为一阶
形如: $y’+p(x)y=q(x)$

一曲线经过点 $(1, 2)$, 且曲线上任意一点 $(x, y)$ 处点切线的斜率等于该点的横坐标
试确定此曲线的方程

解:
$y’=x$, 不难得出 $y=\cfrac{x^2}{2} + C$
曲线经过点 $(1, 2)$, 即 $y(1)=2$, 得 $C=\cfrac{3}{2}$
所求曲线方程为: $y=\cfrac{x^2}{2} + \cfrac{3}{2}$
通解: $y=\cfrac{x^2}{2} + C$
特解: $y=\cfrac{x^2}{2} + \cfrac{3}{2}$
初始条件: 点 $(1, 2)$

可分离变量的微分方程

形如 $\cfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ 的方程
其中 $f(x)$ 只是包含 $x$ 的一元函数(或常量), $g(y)$ 只是包含 $y$ 的一元函数(或常量)

解可分离变量的方法

  1. 分离变量
    将方程写成 $g(y)dy=f(x)dx$ 的形式
  2. 两边同时取不定积分
    $\int g(y)dy=\int f(x)dx$, 得 $G(y)=F(x) + C$
    其中 $C$ 为两个积分所产生的 $C_1$, $C_2$ 的合并
  3. 求出由 $G(y)=F(x) + C$ 所确定的函数

求微分方程 $y’=-\lambda y$ 的通解

解:
$\cfrac{dy}{dx}=-\lambda y$
分离变量 $\cfrac{1}{y}dy=-\lambda dx$
两边积分 $\int \frac{1}{y}dy=-\int\lambda dx$
$\ln |y|=-\lambda x + C$
方程通解为: $y=Ce^{-\lambda x}$

注意: 在微分方程中所有带有绝对值的原函数通通可以省略绝对值, 因为绝对值可以包含在任意常数 $C$ 中

$|y|=e^{-\lambda x + C}=e^Ce^{-\lambda x}$
$y=\pm e^Ce^{-\lambda x}$
其中 $e$ 为 2.718… 的常数, 而 $C$ 为任意常数, 即 $e^C$ 也为任意常数, 那么 $\pm e^C$ 也是任意常数, 所以 $\pm e^C$ 可用一个 $C$ 来代替

齐次与非齐次微分方程

一阶微分方程的一般表达式: $y’+p(x)y=q(x)$

  • 需满足以下两个条件
    1. 所有含有 $y$ 和 $y$ 的导数的项要放在等式的左边, 其他的项放在等式的右边
    2. $y’$ 前面的系数必须为 $1$

一阶线性齐次微分方程

当一般表达式的右边为 $0$ 时, 该微分方程称为齐次微分方程
形如: $y’+p(x)y=0$

  • 通解为 $y=Ce^{-\int p(x)dx}$

实际上的齐次微分方程就是一个可分离变量的微分方程

一阶线性非齐次微分方程

当一般表达式的右边不为 $0$ 时, 该微分方程称为非齐次微分方程

  • 通解为 $y=e^{-\int p(x)dx}(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C)$

求方程 $y’+\cfrac{1}{x}y=\cfrac{sinx}{x}$ 的通解

解:
$p(x)=\cfrac{1}{x}, q(x)=\cfrac{sinx}{x}$, 于是
$y = e^{-\int p(x)dx}(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C)$
$=e^{-\int\frac{1}{x}dx}(\int\frac{sinx}{x}e^{\int\frac{1}{x}dx}dx + C)$
$=e^{-\ln x}(\int\frac{sinx}{x}·e^{\ln x}dx + C)$
$=\cfrac{1}{x}(-cosx + C)$

求 $x^2y’+xy+1=0$ 在 $y(2)=1$ 时的特解

解:
$y’+\cfrac{1}{x}y=-\cfrac{1}{x^2}$
其中 $p(x)=\cfrac{1}{x}, q(x)=-\cfrac{1}{x^2}$
$y=e^{-\int\frac{1}{x}dx}(-\int\frac{1}{x^2}e^{\int\frac{1}{x}dx}dx + C)$
$=e^{-\ln x}(-\int\frac{1}{x^2}·e^{\ln x}dx + C)$
$=\cfrac{1}{x}(-\ln x + C)$
由初始条件 $y(2)=1$, 解得 $C=2 + \ln 2$
满足初始条件的特解为 $y=\cfrac{-\ln x + 2 + \ln 2}{x}$

常系数线性微分方程

常系数: $y$ 及其任意导数前面的系数必须是常数

二阶常系数齐次线性微分方程

其一般表达式为: $y’’+py’+qy=0$

  • 需满足以下两个条件
    1. 所有含有 $y$ 和 $y$ 的导数的项要放在等式的左边, 其他的项放在等式的右边
    2. $y’’$ 前面的系数必须为 $1$

求二阶常系数齐次线性微分方程 $y’’+py’+qy=0$ 的通解步骤如下

  1. 写出微分方程的特征方程: $r^2+pr+q=0$
  2. 求出特征根 $r_1$ 和 $r_2$
  3. 根据 $r_1$ 和 $r_2$ 的三种不同情况写出方程的通解
特征方程的根通解形式
$r_1 \neq r_2$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
$r_1 = r_2$$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$
$r=\alpha\pm\beta i$$y=e^{\alpha x}(C_1cos\beta x + C_2sin\beta x)$

求方程 $y’’+y’-6y=0$ 的通解

解:
方程 $y’’+ y’-6y=0$ 的特征方程为
$r^2 + r - 6 = 0$, 特征根为 $r_1=2, r_2=-3$
通解为 $y=C_1e^{2x}+C_2e^{-3x}$

求方程 $y’’+2y’+5y=0$ 的通解

解:
特征方程为: $r^2+2r+5=0$
解得 $r_1=r_2=-1\pm2i$, 故所求通解为
$y=e^{-x}(C_1cos2x+C_2sin2x)$

常系数线性微分方程

形如 $y’’+py’+qy=f(x)$
通解为: $y=Y+y^*=C_1y_1+C_2y_2+y^*$
其中 $y^*$ 是原方程的一个特解
$Y=C_1y_1+C_2y_2$ 是原方程所对应的齐次的通解

注: 因为 $Y$ 有三种通解, 为方便表达, 所以使用其中一种作为代表

求特解 $y^*$ 的方法

满足 $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$ 型

其中 $P_m(x)$ 指的是含有 $x$ 的多项式

  • $m$ 表示 $P(x)$ 中 $x$ 的最高次

特解 $y^*$ 可设为: $y^*=x^kQ_n(x)e^{\lambda x}$

$\lambda$$k$
不是特征根($\lambda \neq r_1$ 并 $\lambda \neq r_2$)$0$
是特征单根($\lambda=r_1$ 或 $\lambda=r_2$)$1$
是特征重根($\lambda=r$)$2$
$m$一般表达式 $Q_n(x)$
$0$$A$
$1$$Ax+B$
$2$$Ax^2+Bx+C$
$m$$Ax^m+Bx^{m-1}+Cx^{m-2}…$

求方程 $y’’+5y’+6y=e^{3x}$ 的特解

解:
特征方程为: $r^2+5r+6=0$, 特征根为 $r_1=-2, r_2=-3$
因 $\lambda = 3$ 不是特征根, 即 $k = 0$, 故方程具有特解形式:
$y^*=Ae^{3x}$

求方程 $y’’+5y’+6y=3xe^{-2x}$ 的特解

解:
$P_m(x)=3x$, $m=1$, 即 $Q_n(x)=Ax+B$
$\lambda = -2$ 是特征单根, 即 $k = 1$, $x^k=x$
故方程具有特解形式:
$y^*=x(Ax + B)e^{-2x}$

求方程 $y’’+2y’+y=-(3x^2+1)e^{-x}$ 的特解

特征方程为: $r^2+2r+1=0$, 特征根为 $r=-1$,
$\lambda = r$ 是特征重根, 即 $k = 2$, $x^k=x^2$
$P_m(x)=-(3x^2+1)$, $m=2$, 即 $Q_n(x)=Ax^2+Bx+C$
故方程具有特解形式:
$y^*=x^2(Ax^2+Bx+C)e^{-x}$

求具体的特解

求方程 $y’’-2y’-3y=3x+1$

解:
其中 $P_m(x)=3x+1, \lambda = 0$
特征方程为 $r^2-2r-3=0$, 特征根为 $r_1=-1, r_2=3$
由于 $\lambda = 0$ 不是特征根
所以就设特解为 $y^*=Ax+B$
$(y^*)’=A$
$(y^*)’’=0$
代入原函数可得:
$-3Ax-2A-3B=3x+1$
比较系数得 $-3A=3, -2A-3B=1$
解得 $A=-1, B=\cfrac{1}{3}$
所求特解为 $y^*=-x+\cfrac{1}{3}$

求通解

求微分方程 $y’’-2y’+y=e^{-x}$ 的通解

解:
特征方程为 $r^2-2r+1=0$, 解得特征根为 $r=1$
齐次方程的通解为 $Y=(C_1+C_2x)e^x$
$\lambda = -1$ 不是特征根
故 $y*=Ae^{-x}$
$(y^*)’=-Ae^{-x}$
$(y^*)’’=Ae^{-x}$
代入原方程得:
$4Ae^{-x}=e^{-x}$
解得 $A=\cfrac{1}{4}$
故 $y^*=\cfrac{1}{4}e^{-x}$
解得原方程的通解为
$y=Y+y^*=(C_1+C_2x)e^x+\cfrac{1}{4}e^{-x}$

求微分方程 $y’’+y=x+e^x$的通解

解:
特征方程为 $r^2+1=0$, 解得特征根为 $r_1=i, r_2=-i$
齐次方程的通解为: $Y=C_1cosx+C_2sinx$
观察可得
$y’’+y=x$ 的一个特解为 $y_1^*=Ax+B$
$(y_1^*)’=A, (y_1^*)’’=0$, 代入 $y’’+y=x$, 解得 $A=1, B=0$
故 $y_1^*=x$
$y’’+y=e^x$ 的一个特解为 $y_2^*=Ae^x$
$(y_2^*)’=Ae^x, (y_2^*)’’=Ae^x$, 代入 $y’’+y=e^x$, 解得 $A=\cfrac{1}{2}$
故 $y_2^*=\cfrac{1}{2}e^x$
解得原方程的通解为
$y=Y+y_1^*+y_2^*=C_1cosx+C_2sinx+x+\cfrac{1}{2}e^x$

注意: 当形式为 $y’’+py’+qy = f(x) + g(x)$ 时, 需将其分为两个常系数线性微分方程, 一个为 $y’’+py’+qy = f(x)$, 另一个为 $y’’+py’+qy = g(x)$, 以此类推, 最后求通解时将所有特解相加即可, 其中无论分成几份, 其特征方程和齐次方程的通解都是一致的

无穷级数

无穷级数的概念和性质

数项级数的性质

若级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$ 分别收敛, 则级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty (u_n + v_n)$ 收敛

级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^\infty Cu_n$($C$ 为任意常数) 有相同的敛散性

添加去掉改变级数的有限项, 所得级数的敛散性不变

(级数收敛的必要条件)若级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛, 则 $\lim\limits_{n\to \infty}u_n=0$
反之, $\lim\limits_{n\to \infty}u_n\neq0$ 则级数一定不收敛

两个重要极限

等比级数

$\sum\limits_{n=0}^\infty aq^n$ ($a$ 为任意常数)

  • $|q| < 1$ 收敛
  • $|q| \geq 1$ 发散

P 级数

$\sum\limits_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n^p}$

  • $p \leq 1$ 发散
  • $p > 1$ 收敛

当 $p=1$, $\sum\limits_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n}$ 又称调和级数

正项级数

若 $u_n \geq 0(n=1, 2, 3,…)$, 则称级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 为正项级数

收敛判别法

比较审敛法

大收敛 $\Rightarrow$ 小收敛
小发散 $\Rightarrow$ 大发散

比较法的极限形式
  1. $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^\infty v_n$ 均为正项级数

  2. $\lim\limits_{n \to \infty} \cfrac{u_n}{v_n}=C\neq0$, 则二者具有相同的敛散性

比值审敛法

设 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 是正项级数, 且 $\lim\limits_{n \to \infty}\cfrac{u_{n+1}}{u_n}=p$, 则

  • $p<1$ 收敛
  • $p>1$ 发散

任意项级数

如果级数的各项是正、负交错的, 即形如

其中 $u_n>0(n=1, 2, 3,…)$, 则称之为交错级数

若交错级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}u_n(u_n>0, n=1,2,3,…)$
且同时满足两个条件, 则级数收敛

  1. $u_n\geq u_{n+1} (n=1,2,3,…)$
  2. $\lim\limits_{n \to \infty}u_n=0$

绝对收敛与条件收敛

如果级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛, 则级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛

如果级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 收敛, 而级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty |u_n|$ 发散, 则称级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 条件收敛

如果级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛, 则级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 必定收敛

幂级数

幂级数及其收敛区间

称为 $x$ 的幂级数

如果级数收敛, 则称点 $x_0$ 是函数项级数的收敛点
如果级数发散, 则称点 $x_0$ 是函数项级数的发散点
函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域

收敛域

将初等函数展开成幂级数

函数展开成幂级数的方法

间接展开法: 利用几个常用函数的幂级数展开式以及幂级数的四则运算、分析运算、函数的复合、变量代换等, 将所给函数展开成幂函数

常用函数的幂级数展开式

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